Una buena pregunta.
Muchas formas de aprender.

\begin{center} {\LARGE RETO: EL SISTEMA QUE ENGAÑÓ A LA MÁQUINA}\\[0.5em] {\large Matemáticas II - 2º de Bachillerato} \end{center} \section*{El misterio} Una inteligencia artificial ha recibido el siguiente sistema, donde $a\in\mathbb{R}$ es un parámetro y $x,y,z\in\mathbb{R}$ son las incógnitas: \[ \boxed{ \begin{cases} x+y+z=6,\\ x+2y+3z=14,\\ x+ay+(a^2+3a-3)z=9a. \end{cases}} \] Después de estudiarlo, la máquina declara lo siguiente: \begin{quote} \emph{\textbf{Veredicto de la máquina:} Para cualquier valor de $a\neq 1$, el sistema tiene una única solución y, además, la tercera incógnita vale $z=\dfrac{1}{a-1}$. Cuando $a=1$, el sistema no tiene solución.} \end{quote} Sin embargo, la máquina podría haber pasado por alto un detalle que cambia por completo su conclusión. Tu misión es investigar si su veredicto es realmente fiable. \section*{Los cuatro desafíos} \begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}, leftmargin=*] \item \textbf{El juicio matemático.} Determina si la afirmación de la máquina es completamente correcta. Aplica el teorema de Rouché-Frobenius y estudia los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada para \emph{todos} los valores del parámetro. Explica qué ocurre en cada caso. \item \textbf{La prueba que nadie puede refutar.} Si encuentras algún valor del parámetro para el que la máquina se equivoca, construye una prueba numérica que demuestre su error. Comprueba directamente las ecuaciones originales. No basta con afirmar que el sistema es compatible o incompatible: debes convencer a alguien que no haya realizado tus cálculos. \item \textbf{Ahora eres tú quien diseña la trampa.} Sin modificar los coeficientes de las incógnitas, sustituye solamente el término independiente $9a$ de la tercera ecuación por una expresión $ma+n$, con $m,n\in\mathbb{Z}$. Tu objetivo es conseguir que \textbf{los dos valores excepcionales del parámetro intercambien sus comportamientos}: el que originalmente producía infinitas soluciones deberá producir un sistema incompatible, y viceversa. Encuentra una modificación que funcione, demuéstralo y explica cómo se te ocurrió. \item \textbf{La reflexión final.} Explica a un compañero por qué resolver sistemas con parámetros no consiste solamente en aplicar fórmulas. Utiliza este reto para explicar el peligro de simplificar expresiones en las que aparece un parámetro y qué aporta el teorema de Rouché-Frobenius. \end{enumerate}

\begin{center} {\Large \textbf{MISIÓN DE CIBERSEGURIDAD MATEMÁTICA}} \\[0.3em] {\Huge \textbf{EL GRAN HACKEO DE LA BASE LUNAR}} \\[0.5em] {\small \textbf{Nivel: 1.º ESO --- Tema 1: Números Naturales}} \end{center} \vspace{0.5cm} \noindent \textbf{SITUACIÓN DE EMERGENCIA:} Un virus informático ha bloqueado el sistema principal de soporte vital de la Base Lunar. Para evitar el colapso de la estación, debéis descifrar el \textbf{Código Maestro de Desbloqueo} resolviendo los 4 niveles de seguridad encadenados. La respuesta final de cada nivel se convierte en la clave requerida para desbloquear el siguiente. \vspace{0.6cm} % ------------------------------------------------------------------ % NIVEL 1 % ------------------------------------------------------------------ \noindent \textbf{\large Nivel 1: Restauración de los Sistemas Básicos} \\ \textit{Prioridad de Operaciones} \vspace{0.2cm} Para reactivar el sistema de ventilación primaria, debéis ejecutar la rutina de reinicio introduciendo la prioridad correcta de las operaciones matemáticas. \vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Problema:} El panel informático muestra la siguiente secuencia bloqueada: \[ 45 + 5 \times (18 - 3 \times 4) - 24 : (8 - 2) \] \begin{enumerate}[leftmargin=1.5em] \item Resuelve la operación combinada aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones. \item \textbf{Clave de acceso ($A$):} El resultado final obtenido es el valor numérico de $A$. \end{enumerate} \vspace{0.6cm} % ------------------------------------------------------------------ % NIVEL 2 % ------------------------------------------------------------------ \noindent \textbf{\large Nivel 2: Diagnóstico del Consumo Energético} \\ \textit{Problema con Multiplicaciones y Restas} \vspace{0.2cm} El soporte vital requiere estabilizar el flujo de energía hacia los módulos habitables antes de conectar los generadores principales. \vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Problema:} Cada módulo habitable consume \textbf{12 kWh} al día. La base cuenta con un número de módulos igual a la \textbf{suma de las cifras} de la clave $A$ obtenida en el Nivel 1. El generador auxiliar dispone de una reserva total de \textbf{850 kWh} para resistir un ciclo de \textbf{5 días}. \begin{enumerate}[leftmargin=1.5em] \item Calcula cuántos kWh consumen todos los módulos juntos en un día. \item Calcula cuántos kWh consumen en los 5 días completos del ciclo. \item ¿Cuántos kWh de energía sobrarán en la reserva al finalizar el ciclo de 5 días? \item \textbf{Clave de acceso ($B$):} La cantidad de kWh restantes en la reserva es el valor numérico de $B$. \end{enumerate} \vspace{0.6cm} % ------------------------------------------------------------------ % NIVEL 3 % ------------------------------------------------------------------ \noindent \textbf{\large Nivel 3: Reparto de Oxígeno y Suministros} \\ \textit{Problema con Divisiones e Interpretación del Resto} \vspace{0.2cm} El oxigenador central debe redistribuir el oxígeno comprimido disponible entre las distintas cápsulas de supervivencia. \vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Problema:} La base dispone de una cantidad total de litros de oxígeno equivalente al valor de la clave $B$ \textbf{multiplicado por 4}, más \textbf{38 litros extra}. Las cápsulas almacenan el oxígeno en tanques especiales de \textbf{25 litros} de capacidad cada uno. \begin{enumerate}[leftmargin=1.5em] \item Calcula cuántos litros de oxígeno hay en total en la base. \item ¿Cuántos tanques de 25 litros se pueden llenar por completo? \item ¿Cuántos litros de oxígeno quedan sueltos en el último tanque incompleto? \item \textbf{Clave de acceso ($C$):} Multiplica la cantidad de \textbf{tanques llenos} por el \textbf{resto de la división} (litros sueltos). El resultado es el valor numérico de $C$. \end{enumerate} \vspace{0.6cm} % ------------------------------------------------------------------ % NIVEL 4 % ------------------------------------------------------------------ \noindent \textbf{\large Nivel 4: El Código Maestro de Desbloqueo} \\ \textit{Operación Combinada Encadenada Final} \vspace{0.2cm} Para purgar definitivamente el virus del sistema, se debe introducir la ecuación final en la consola central utilizando las tres claves obtenidas ($A$, $B$ y $C$). \vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Problema:} Introduce los valores de $A$, $B$ y $C$ en la siguiente estructura informática para hallar el \textbf{Código Maestro}: \[ \text{Código Maestro} = [C : (B - 340)] + (A - 11) \times 3 - (100 : 5) \] \begin{enumerate}[leftmargin=1.5em] \item Sustituye las letras $A$, $B$ y $C$ por sus valores numéricos correspondientes. \item Resuelve la operación combinada paso a paso aplicando la jerarquía de operaciones. \item Obtén el resultado final exacto para reiniciar la Base Lunar y salvar a la tripulación. \end{enumerate}

\section*{Enunciado del Problema} Sea $A \in \mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R})$ una matriz cuadrada de orden $n \ge 2$ invertible ($\det(A) \neq 0$). \textbf{Demostrar} la fórmula del determinante de su matriz adjunta, $\operatorname{Adj}(A)$, y obtener la expresión simplificada de $\det\big(k \cdot \operatorname{Adj}(A)\big)$ para cualquier escalar $k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. \section*{Demostración propuesta por la IA} \textbf{Paso 1: Relación entre la matriz inversa y la adjunta.} \\ Partimos de la definición analítica de la matriz inversa: \[ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{Adj}(A) \] Multiplicando ambos miembros por la matriz $A$ por la izquierda: \[ A \cdot A^{-1} = A \cdot \left( \frac{1}{|A|} \operatorname{Adj}(A) \right) \] Como $A \cdot A^{-1} = I_n$ (matriz identidad de orden $n$) y reordenando el escalar, obtenemos: \[ A \cdot \operatorname{Adj}(A) = |A| \cdot I_n \] \textbf{Paso 2: Aplicación de determinantes.} \\ Tomamos el determinante en ambos miembros de la ecuación previa: \[ \det\Big(A \cdot \operatorname{Adj}(A)\Big) = \det\Big(|A| \cdot I_n\Big) \] \textbf{Paso 3: Extracción de propiedades de determinantes.} \\ Aplicamos el Teorema de Binet-Cauchy sobre el producto de matrices en el miembro izquierdo, y extraemos la constante $|A|$ del determinante en el miembro derecho: \[ \det(A) \cdot \det\Big(\operatorname{Adj}(A)\Big) = |A| \cdot \det(I_n) \] \textbf{Paso 4: Simplificación del resultado.} \\ Sabiendo que el determinante de la matriz identidad es $\det(I_n) = 1$ y que el escalar $|A|$ es equivalente a $\det(A)$: \[ \det(A) \cdot \det\Big(\operatorname{Adj}(A)\Big) = \det(A) \cdot 1 \] Como $A$ es invertible, sabemos que $\det(A) \neq 0$, por lo que dividimos ambos miembros entre $\det(A)$: \[ \det\Big(\operatorname{Adj}(A)\Big) = \frac{\det(A)}{\det(A)} = 1 \] \textit{Conclusión intermedia:} El determinante de la adjunta de cualquier matriz invertible es siempre $1$. \textbf{Paso 5: Cálculo de $\det\big(k \cdot \operatorname{Adj}(A)\big)$.} \\ Para calcular el determinante del producto del escalar $k$ por la matriz adjunta, extraemos el escalar multiplicando directamente fuera del determinante: \[ \det\Big(k \cdot \operatorname{Adj}(A)\Big) = k \cdot \det\Big(\operatorname{Adj}(A)\Big) \] Sustituyendo el valor obtenido en el Paso 4: \[ \det\Big(k \cdot \operatorname{Adj}(A)\Big) = k \cdot 1 = k \] \textbf{¿Es correcta esta demostración? ¡Encuentra los fallos y graba tu solución!}